Question

15．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為3x+4y=0，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$或$\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線的方程，討論焦點(diǎn)在x軸，y軸上，結(jié)合離心率的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵雙曲線的一條漸近線方程為3x+4y=0，即y=-$\frac{3}{4}$x，
∴①若焦點(diǎn)在x軸，則$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$=$\frac{5}{4}$，
②若焦點(diǎn)在y軸，則$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\sqrt{\frac{25}{9}}$=$\frac{5}{3}$，
則雙曲線的離心率e=$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線漸近線的方程結(jié)合雙曲線離心率的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．