【題目】P(x0 , y0)(x0≠±a)是雙曲線E: 上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為 .
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足 ,求λ的值.
【答案】
(1)解:∵P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E: 上一點(diǎn),
∴ ,①
由題意又有 ,②
聯(lián)立①、②可得a2=5b2,c2=a2+b2,
則e= ,
(2)聯(lián)立 ,得4x2﹣10cx+35b2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2= ,x1x2= ,
設(shè) =(x3,y3), ,
即
又C為雙曲線上一點(diǎn),即x32﹣5y32=5b2,
有(λx1+x2)2﹣5(λy1+y2)2=5b2,
化簡得:λ2(x12﹣5y12)+(x22﹣5y22)+2λ(x1x2﹣5y1y2)=5b2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,所以x12﹣5y12=5b2,x22﹣5y22=5b2,
而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5(x1﹣c)(x2﹣c)
=﹣4x1x2+5c(x1+x2)﹣5c2=﹣4 +5c ﹣5c2= ﹣35b2= 6b2﹣35b2=10b2,
得λ2+4λ=0,解得λ=0或﹣4.
【解析】(1)由P點(diǎn)坐標(biāo)滿足雙曲線方程,直線PM,PN的斜率之積為 聯(lián)立方程組可得a2=5b2,即可求出e的值。
(2)可求出過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線y=x-c,與雙曲線聯(lián)立方程組求出x1+x2,x1x2。由 可求出值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·新課標(biāo)1卷)執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的t=0.01,則輸出的n=( )
A.5
B.6
C.10
D.12
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【題目】甲、乙兩人參加普法知識(shí)競賽,共有5個(gè)不同題目,選擇題3個(gè),判斷題2個(gè),甲、乙兩人各抽一題.
(1)求甲抽到判斷題,乙抽到選擇題的概率是多少;
(2)求甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少.
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【題目】已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0,則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是( )
A.x∈R,f(x)≤f(x0)
B.x∈R,f(x)≥f(x0)
C.x∈R,f(x)≤f(x0)
D.x∈R,f(x)≥f(x0)
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【題目】如圖,已知橢圓 =1(a>b>0),F(xiàn)1 , F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的焦距為2,且 =2 ,求橢圓的方程.
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【題目】下列命題:其中正確命題的序號(hào)是 .
①設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),若a<b,則ab2<a2b;
②若a<b<0,則 > ;
③函數(shù)y= 的最小值是2;
④若x,y是正數(shù), + =1,則x+2y的最小值為8.
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【題目】下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
①若正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是16;
②已知,則函數(shù)的最大值為;
③已知,且,則的最小值是36;
④若對(duì)任意實(shí)數(shù),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】如圖,在菱形 中, ⊥平面 ,且四邊形 是平行四邊形.
(1)求證: ;
(2)當(dāng)點(diǎn) 在 的什么位置時(shí),使得 ∥平面 ,并加以證明.
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