Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）逆用二倍角的正弦與余弦及兩角和的正弦公式可求得f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，從而可求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得f（x）的最小值及取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-

3

sin²x
=

1

2

sin2x-

3

•

1-cos2x

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴當(dāng)2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值-

3

．
即：當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，fx（_min=-

3

，此時(shí)x=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．