Question

已知log 

1

2

x≥-2且4×2^2x-9×2^x+2＞0，
（1）求x的取值的集合A；
（2）x∈A時(shí)，求函數(shù)f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的值域．
（3）g（t）=-t²+2at-a+

17

4

，在（1），（2）問的條件下，若任取x₁，x₂∈A，總存在t₀∈（0，3），
使|f（x₁）-f（x₂）|≤g（t₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）解對(duì)數(shù)不等式和指數(shù)不等式，并求出兩個(gè)不等式解集的交集可得集合A；
（2）f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2），令t=log₂x，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及二次當(dāng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的值域．
（3）由題意得，gmax≥|f(x1)-f(x2)|max=2-(-

1

4

)=

9

4

，即：t²-2at+a-2≤0有解，令h（t）=t²-2at+a-2，則h（t）_min≤0，分類討論不同情況下a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）若log 

1

2

x≥-2，
則0＜x≤4，…①
若4×2^2x-9×2^x+2＞0，
則2^x＜

1

4

，或2^x＞2，
即x＜-2，或x＞1，…②
由①②得：A={x|1＜x≤4}-------------------------------（3分）
（2）f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2），
令t=log₂x，則t∈（0，2]，
此時(shí)y=f（x）=（t-1）（t-2）的圖象是開口朝上，且以直線t=

3

2

為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=

3

2

，即x=2

3

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-

1

4

，
當(dāng)t=0，即x=1時(shí)，函數(shù)最最大值2，
故函數(shù)f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的值域?yàn)?span id="nd7txlt" class="MathJye">[-

1

4

，2)---------------------------------------------（6分）
（3）由題意得，gmax≥|f(x1)-f(x2)|max=2-(-

1

4

)=

9

4

，
即：-t2+2at-a+

17

4

≥

9

4

，t²-2at+a-2≤0有解，
令h（t）=t²-2at+a-2，
則h（t）_min≤0，而h（t）=t²-2at+a-2=（t-a）²-a²+a-2
①當(dāng)a∈（0，3）時(shí)，h(t)min=-a2+a-2≤0，a≥2或a≤-1，此時(shí)：a∈[2，3）
②a≥3時(shí)，h(t)min=h(3)=9-6a+a+2=11-5a≤0，a≥

11

5

，但t∈（0，2），最小值取不到，故a＞

11

5

；此時(shí)：a≥3
③a≤0時(shí)，h（t）_min=h（0）=a+2≤0，a≤-2，但…t∈（0，2），最小值取不到，故a＜-2；此時(shí)：a＜-2
綜上：a∈（-∞，-2）∪[2，+∞）-----------------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，解對(duì)數(shù)不等式，解指數(shù)不等式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，集合的運(yùn)算，存在性問題，是函數(shù)與集合的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算強(qiáng)度大，轉(zhuǎn)化復(fù)雜，屬于難題．