Question

14．在△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，若$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{CB}$，則$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$等于（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 可分別以邊CB，CA所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，然后過B作BE∥AC，并且BE=AC，連接CE，并延長AB到F，使得BF=AB，連接EF，從而得到平行四邊形BCEF，這樣便可說明D為線段BF的中點，根據條件可求得BC=$2\sqrt{2}$，這樣便可得出點C，B，D的坐標，從而求出向量$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CB}$的坐標，從而可求出$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：如圖，分別以CB，CA所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，過B作BE∥AC，且BE=AC，連接CE，延長AB到F，使BF=AB，連接EF，則：

四邊形BCEF為平行四邊形；
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BD}$；
∴D為邊BF的中點；
根據條件得，$C（0，0），B（2\sqrt{2}，0），D（3\sqrt{2}，-\frac{1}{2}）$；
∴$\overrightarrow{CD}=（3\sqrt{2}，-\frac{1}{2}），\overrightarrow{CB}=（2\sqrt{2}，0）$；
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CB}=12$．
故選：C．

點評 考查平行四邊形的概念，相等向量的概念，以及向量加法的平行四邊形法則，向量數乘的幾何意義，通過建立平面直角坐標系，利用向量的坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，以及向量數量積的坐標運算．