Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-2n，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n+2}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}（{a_n}+2）$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求$\frac{1}{T_3}+\frac{1}{T_6}+…+\frac{1}{{{T_{3n}}}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2n，推出a_n=2a_n-1+2，然后證明{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，然后利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．

解答 （1）證明：由S_n=2a_n-2n有S_n-1=2a_n-1-2（n-1），相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2
∴a_n=2a_n-1+2即a_n+2=2（a_n-1+2）…（2分）   
又S₁=2a₁-2，解得a₁=2…（3分）
故{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列…（4分）
（2）由（1）得${a_n}+2=4•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{2^{n+1}}=-n-1$，…（6分）
${T_n}=\frac{n（-2-n-1）}{2}=-\frac{n（n+3）}{2}$，…（8分）     
$\frac{1}{{{T_{3n}}}}=-\frac{2}{3n（3n+3）}=-\frac{2}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$…（10分）$\frac{1}{T_3}+\frac{1}{T_6}+…+\frac{1}{{{T_{3n}}}}=-\frac{2}{9}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=-\frac{2}{9}（1-\frac{1}{n+1}）=-\frac{2n}{9（n+1）}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，裂項(xiàng)消項(xiàng)法的應(yīng)用，等比數(shù)列的證明，考查計(jì)算能力．