Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一動點P，與圓（x-1）²+y²=1上一動點Q，及圓（x+1）²+y²=1上一動點R，則|PQ|+|PR|的最大值為6．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的兩焦點恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標(biāo)．設(shè)橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PR|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1，同理：|PQ|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1，從而可求|PQ|+|PR|的最大值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的兩焦點為（-1，0），（1，0），
恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標(biāo)．
設(shè)橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，
由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PR|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1
同理：|PQ|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1
∴|PQ|+|PR|的最小為|PF₁|+|PF₂|-2=2×2-2=2，最大為|PF₁|+|PF₂|+2=2×2+2=6
故|PQ|+|PR|的最大值為6，
故答案為：6．

點評 本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，考查線段和的取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的兩焦點恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標(biāo)．