Question

已知一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)的積為3，后三項(xiàng)的積為9，且所有項(xiàng)的積為243，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______．

Answer 1

10
分析：由題意可得 a₁a_n =3，再由所有項(xiàng)的積為a₁•a₁q•a₁q2 …a₁q^n-1=243=3⁵ ①，倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁵ ②，把①②對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘可得
==3ⁿ=3⁵•3⁵ =3¹⁰，由此解得 n的值．
解答：設(shè)等比數(shù)列為{a_n}，公比為q，由題意可得 a₁a₂a₃=3，且 a_n-2a_n-1a_n=9，兩式相乘可得 a₁a_n =3．
再由所有項(xiàng)的積為a₁•a₁q•a₁q² …a₁q^n-1=243=3⁵ ①，
倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁵ ②，
把①②對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘可得 ==3ⁿ=3⁵•3⁵ =3¹⁰，解得 n=10，
故答案為 10．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．