Question

15．如圖，自圓O外一點P引圓O的切線，切點為A，M為AP的中點，過點M引圓的割線交圓O于B，C兩點，且∠BMP=120°，∠BPC=30°，MC=8．
（Ⅰ）求∠MPB的大小；
（Ⅱ）記△MAB和△MCA的面積分別為S_△MAB和S_△MCA，求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由切割線定理，得MA²=MB•MC，再根據M為PA的中點，將MA換成MP，得到△PMB∽△CMP，從而∠MPB=∠MCP，最后在△CMP中利用內角和為180°列式，可得∠MPB的大小；
（Ⅱ）證明△MAB～△MCA，可得$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}$，即可求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．

解答 解：（Ⅰ）∵MA是圓O的切線，MC是圓O的割線，∴MA²=MB•MC，
又∵M為AP的中點，∴MA=MP，
∴MP²=MB•MC，且∠PMB=∠CMP，
∴△PMB～△CMP，∴∠MPB=∠MCP，
又∵∠MPB+∠MCP+∠CMP+∠CPB=180°，
且∠BMP=120°，∠BPC=30°，∴∠MPB=15°．
（Ⅱ）∵MA是圓O的切線，∴∠MAB=∠ACM，
∴△MAB～△MCA，
∴$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}$，
在△CMP中，MC=8，∠CPM=45°，∠PCM=15°，
由正弦定理得：$MP=4（\sqrt{3}-1）$，∵MA=MP，∴$MA=4（\sqrt{3}-1）$，
∴$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}=\frac{{M{A^2}}}{{M{C^2}}}=\frac{{{{[4（\sqrt{3}-1）]}^2}}}{8^2}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題給出圓的切線和割線，在已知兩個角的度數(shù)情況下求未知角的度數(shù)，求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$．著重考查了三角形的相似、切割線定理和三角形內角和定理等知識，屬于中檔題．