5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$ax2+2(a∈R)在x=3時取得極小值.
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 當(dāng)x∈[-2,4]時,求f(x)的最大值.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(3)=0,求出a的值,并檢驗即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值即可.

解答 解:(Ⅰ)由題有f'(x)=x2-ax,
因為x=3時,f(x)取得極小值,
所以f'(3)=9-3a=0,解得a=3,
此時$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2$,f'(x)=x2-3x,
則當(dāng)x<0或x>3時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)0<x<3時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
所以f(x)在x=3時取得極小值,
所以a=3符合題意;
(Ⅱ)由(Ⅰ),知f(x)在[-2,0)遞增,在[0,3)遞減,在[3,4]遞增.
又$f(0)=2>f(4)=-\frac{2}{3}$,
所以當(dāng)x∈[-2,4]時,f(x)max=f(0)=2.

點評 本題考查了極值的意義,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.如圖,自圓O外一點P引圓O的切線,切點為A,M為AP的中點,過點M引圓的割線交圓O于B,C兩點,且∠BMP=120°,∠BPC=30°,MC=8.
(Ⅰ)求∠MPB的大小;
(Ⅱ)記△MAB和△MCA的面積分別為S△MAB和S△MCA,求$\frac{{{S_{△MAB}}}}{{{S_{△MCA}}}}$.

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16.為了判斷高中學(xué)生對文理科的偏好是否與性別有關(guān),隨機調(diào)查了50名學(xué)生,得到如下2×2列聯(lián)表:
  偏好理 偏好文 總計
 男 20 25 
 女  13 
 總計   50
(Ⅰ)把列聯(lián)表中缺失的數(shù)據(jù)填寫完整;
(Ⅱ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷,是否有97.5%的把握認(rèn)為“高中學(xué)生對文理科的偏好于與性別有關(guān)”,并說明理由.
附:K2=$\frac{n({ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.其中n=a+b+c+d.
 P(K2≥k0 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.函數(shù)f(x)=mx3+nx在x=$\frac{1}{m}$處有極值,則mn=-3.

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20.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=a(cosφ+sinφ)}\\{y=a(sinφ-cosφ)}\end{array}\right.$,(φ為參數(shù),a>0),在以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,取相同單位長度的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρsin(θ+$\frac{π}{6}$)=1
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)曲線C1上恰好存在四個不同的點到曲線C2的距離相等,求a的取值范圍.

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10.已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(1,0)處的切線方程;
(2)若對?x∈(0,+∞)有2f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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17.已知函數(shù)f(x)=ax-lnx,其中a>0.
(1)若f(x)在x=x0處取得最小值2,求a和x0的值;
(2)設(shè)x1,x2是任意正數(shù),證明:f(x1)+f(x2)≥2f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$).

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14.已知M、m分別是函數(shù)f(x)=ax5-bx+sinx+1的最大值、最小值,則M+m=2.

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20.已知多面體ABCDEFG是由一個平面截長方體ABCD-A1B1C1D1所得的幾何體,如圖所示,其中AB=2BC=2AF=4CG=4.
(1)求BE的長;
(2)求二面角A-EF-B的余弦值.

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