Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)， 為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)為， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由e=，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．

（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)E，使為定值，定點(diǎn)為（）．

試題解析：

（Ⅰ）由e=，得=，即c=a，①

以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓為x2+y2=a2，

此圓與直線2x﹣+6=0相切，∴a==，

代入①得c=2，（4分）

∴b2=a2﹣c2=2，∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，

根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E（m，0），使得為定值，

則有=（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=

=（k2+1）

=（k2+1）﹣（2k2+m）+（4k2+m2）

=，

要使上式為定值，即與k無(wú)關(guān)，則應(yīng)有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），

即m=，此時(shí)=為定值，定點(diǎn)為（）．