Question

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且

(1) 求證：；

(2) 若直線與平面所成的角為，求銳二面角的大小。

 

 

Answer 1

（1）過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題以直三棱柱為背景，考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，作出輔助線AD，即可得到，利用面面垂直的性質(zhì)，得到，再利用線面垂直的性質(zhì)，得到，同理，得到，利用線面垂直的判定，得到側(cè)面，從而利用線面垂直的性質(zhì)，得到；第二問，可以利用傳統(tǒng)幾何法，證明二面角的平面角為，在三角形中，利用邊角關(guān)系解出角的值，還可以利用向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，計算出平面和平面的法向量，利用夾角公式計算.

試題解析：（1）證明：如圖，取的中點，連接， 1分

因，則 2分

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面， 3分

得，又平面，

所以. 4分

因為三棱柱是直三棱柱，

則，

所以.

又，從而側(cè)面 ，

又側(cè)面，故. 7分

（2）解法一：連接，由（1）可知，則是在內(nèi)的射影∴ 即為直線與所成的角，則 8分

在等腰直角中，，且點是中點

∴ ，且，

∴ 9分

過點A作于點，連

由（1）知，則，且

∴ 即為二面角的一個平面角 10分

且直角中：

又，

∴ ，且二面角為銳二面角

∴ ，即二面角的大小為 14分

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，且設(shè)，則

， ， ，

， ， ， 9分

設(shè)平面的一個法向量

由， 得：

令 ，得 ，則 10分

設(shè)直線與所成的角為，則

得，解得，即 12分

又設(shè)平面的一個法向量為，同理可得，

設(shè)銳二面角的大小為，則

，且，得

∴ 銳二面角的大小為。 14分

考點：線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法.