Question

9．若直線l：ax+by+1=0經(jīng)過圓M：x²+y²+4x+2y+1=0的圓心，則（a-2）²+（b-2）²的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 5
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 10

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心M的坐標(biāo)和半徑r，再把M的坐標(biāo)代入直線l，得到關(guān)于a與b的方程，（a-2）²+（b-2）²可看做（a，b）到（2，2）距離的平方，又點(diǎn)（2，2）到直線2a+b-1=0的距離最小值為點(diǎn)（2，2）到直線2a+b-1=0的距離，故用點(diǎn)到直線的距離公式求出（2，2）到直線2a+b-1=0的距離，平方后即可得到所求式子的最小值．

解答 解：根據(jù)題意，圓M的一般方程為：x²+y²+4x+2y+1=0，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+（y+1）²=4，
即圓心M坐標(biāo)為（-2，-1），半徑r=2，
∵直線l：ax+by+1=0過圓M的圓心，
則把M（-2，-1）代入直線l：ax+by+1=0得：-2a-b+1=0，即2a+b-1=0，
（a-2）²+（b-2）²可以表示為直線2a+b-1=0上任意一點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（2，2）的距離的平方，
又由（2，2）到直線2a+b-1=0的距離d=$\frac{|2×2+2-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
即直線2a+b-1=0上任意一點(diǎn)到點(diǎn)（2，2）的距離的最小值為$\sqrt{5}$，
則（a-2）²+（b-2）²的最小值為5；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的一般方程，關(guān)鍵是求出a、b的關(guān)系．