Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=1+（

1

2

）^x
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的草圖；
（3）利用圖象直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)得f（0）=0，當(dāng)x＜0時(shí)則-x＜0，由f（x）=-f（-x）求出x＜0時(shí)的解析式，再用分段函數(shù)的形式表示出f（x）；
（2）根據(jù)解析式和指數(shù)函數(shù)的圖象，畫出該函數(shù)的草圖；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象求出f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域．

解答： 解：（1）由題意得，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，…（2分）
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＜0，f（x）=-f（-x）=-（1+(

1

2

)-x）=-1-2^-x，
故f（x）的解析式為：f(x)=

1+( 1 2 )-x，x＞0 0，x=0 -1-2-x，x＜0

                          …（6分）
（2）函數(shù)草圖如右；             …（10分）
（3）由圖得，減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；值域?yàn)閧y|-2＜y＜-1或y=0或1＜y＜2} …（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象的平移變換，考查了作圖和識圖能力．