Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=1+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數），以原點為極點，以x軸為正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$．
（1）求曲線C₁與曲線C₂的直角坐標方程；
（2）設點M（$\sqrt{3}$，1），曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）運用代入法，可得曲線C₁的直角坐標方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，兩邊平方即可得到曲線C₂的直角坐標方程；
（2）求得曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}m}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$（m為參數），代入曲線C₂的直角坐標方程，運用韋達定理，即可得到所求值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=1+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數），
即為$\left\{\begin{array}{l}{t=x-\sqrt{3}}\\{\sqrt{3}t=y-1}\end{array}\right.$，兩式相除，消去t，可得：
曲線C₁的直角坐標方程為y-1=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），
即為y=$\sqrt{3}$x-2；
曲線C₂的極坐標方程為ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$．
即為ρ²+3ρ²sin²θ=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲線C₂的直角坐標方程為x²+y²+3y²=4，
即為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}m}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$（m為參數），
代入曲線C₂的直角坐標方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得：
（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$m）²+4（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）²=4，
化為$\frac{13}{4}$m²+5$\sqrt{3}$m+3=0，
即有|MA|•|MB|=|m₁|•|m₂|=|m₁•m₂|=$\frac{12}{13}$．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，以及參數方程和直角坐標方程的互化，注意運用代入法和極坐標和直角坐標的關系，同時考查直線參數方程的運用，注意參數的幾何意義，屬于中檔題和易錯題．