Question

已知無窮數(shù)列中，、 、、構(gòu)成首項為2，公差為－2的等差數(shù)列，、、、，構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，其中，.
（1）當，，時，求數(shù)列的通項公式；
（2）若對任意的，都有成立．
①當時，求的值；
②記數(shù)列的前項和為．判斷是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）數(shù)列的通項公式為；
（2）①的值為或；②詳見解析.

試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列的定義求出當時數(shù)列的通項公式，注意根據(jù)的取值利用分段數(shù)列的形式表示數(shù)列的通項；（2）①先確定是等差數(shù)列部分還是等比數(shù)列部分中的項，然后根據(jù)相應(yīng)的通項公式以及數(shù)列的周期性求出的值；②在（1）的基礎(chǔ)上，先將數(shù)列的前項和求出，然后利用周期性即可求出，構(gòu)造，利用定義法求出的最大值，從而確定和的最大值，進而可以確定是否存在，使得.
試題解析：（1）當時，由題意得，                  2分
當時，由題意得，                    4分
故數(shù)列的通項公式為                5分
（2）①因為無解，所以必不在等差數(shù)列內(nèi)，
因為，所以必在等比數(shù)列內(nèi)，且等比數(shù)列部分至少有項，
則數(shù)列的一個周期至少有項，                           7分
所以第項只可能在數(shù)列的第一個周期或第二個周期內(nèi)，
若時，則，得，
若，則，得，
故的值為或                                 9分
②因為，，
所以，               12分
記，則，
因為，所以，即，           14分
故時，取最大，最大值為，
從而的最大值為，不可能有成立，故不存在滿足條件的實數(shù)     16分項和、數(shù)列的周期性、數(shù)列的單調(diào)性