Question

18．如圖，在四面體ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且 AD⊥AB，BC⊥AB，則二面角C-AB-D的余弦值為-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 在平面ABC中，過A作AB的垂線AE，過C作AB的平行線CE，交AE于E，連結(jié)DE，則∠DAE是二面角C-AB-D的平面角，由此能求出二面角C-AB-D的余弦值．

解答 解：在平面ABC中，過A作AB的垂線AE，過C作AB的平行線CE，交AE于E，連結(jié)DE，
∵在四面體ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且 AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAE是二面角C-AB-D的平面角，
ABCE是長方形，AE=BC=1，CE=AB=2，DE⊥CE，
∴DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠DAE=$\frac{A{D}^{2}+A{E}^{2}-D{E}^{2}}{2AD•AE}$=$\frac{9+1-12}{2×3×1}$=-$\frac{1}{3}$．
∴二面角C-AB-D的余弦值為-$\frac{1}{3}$．
故答案為：$-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查二面角的余弦值的求不地，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．