Question

15．已知{a_n}是等差數(shù)列，a₁=2，a₃+a₆+a₉=36．?dāng)?shù)列{b_n-a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=2S_n+2（n∈N^*），b₁=4
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差數(shù)列的公差，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由S_n+1=2S_n+2，利用構(gòu)造等比數(shù)列求得S_n，再由數(shù)列{b_n-a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，結(jié)合數(shù)列的分組求和可得{b_n}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）直接由（1）可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃+a₆+a₉=36，
得3a₆=36，a₆=12，
又a₁=2，∴$d=\frac{{a}_{6}-{a}_{1}}{6-1}=\frac{12-2}{5}=2$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
再由S_n+1=2S_n+2，得S_n+1+2=2（S_n+2），
∴數(shù)列{S_n+2}是以S₁=b₁-a₁=4-2=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則${S}_{n}+2={2}^{n}$，
∴${S}_{n}={2}^{n}-2$．
則（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）
=（b₁+b₂+…+b_n）-（2n+$\frac{n（n-1）×2}{2}$）=（b₁+b₂+…+b_n）-（n²+n）=2ⁿ-2．
∴b₁+b₂+…+b_n=2ⁿ+n²+n-2．
則當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2ⁿ+n²+n-2-2^n-1-（n-1）²-（n-1）+2=2^n-1+2n．
驗(yàn)證b₁=4不適合上式．
∴$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n-1}+2n，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n=b₁+b₂+…+b_n=2ⁿ+n²+n-2．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)列的分組求和，關(guān)鍵是掌握對于任意數(shù)列{a_n}，都有a_n=S_n-S_n-1（n≥2），是中檔題．