Question

7．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開式的二項式系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開式的二項式系數(shù)和大992，
（1）求（2x+$\frac{1}{2}$）²ⁿ的二項式系數(shù)最大的項：
（2）求（2x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）由條件求得m=5，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可得第6項的二項式系數(shù)最大，由通項公式可得該項．
（2）設(shè)第r+1項的系數(shù)的絕對值最大，由通項公式可得C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r+12^9-r，C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r-12^11-r，求得 r=3，可得第4項的系數(shù)的絕對值最大，再利用二項式展開式的通項公式，求得該項．

解答 解：（1）由題意可得2²ⁿ=2ⁿ+992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，∴2ⁿ=32，n=5．
由于（2x+$\frac{1}{x}$）¹⁰的展開式共有11項，故第6項的二項式系數(shù)最大，
由通項公式可得該項為 T₆=${C}_{10}^{5}$•（-1）⁵•2⁵=-8064．
（2）設(shè)第r+1項的系數(shù)最大，∵T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r•x^10-2r，
∴C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r+12^9-r，C₁₀^r2^10-r≥C₁₀^r-12^11-r，
求得$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$，∴r=3，
故第4項的系數(shù)最大，該項為T₄=-C₁₀³•2⁷•x⁴=-15360x⁴．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．