Question

5．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（1，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（I） 求橢圓E的方程；
（II） 過(guò)F作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別與E交于點(diǎn)A，C與點(diǎn)B，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （I） 利用已知條件列出方程組，求解a，b，然后求橢圓E的方程；
（II））當(dāng)直線l₁斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，求出四邊形ABCD面積；當(dāng)直線l₁斜率存在時(shí)，不妨設(shè)為k（k≠0），則直線l₂斜率為$-\frac{1}{k}$，直線l₁的方程為y=k（x-1），與橢圓E聯(lián)立得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0，設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，表達(dá)四邊形的面積，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：（ I）由題意橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（1，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$，則橢圓E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（ II）當(dāng)直線l₁斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|{AC}|•|{BD}|=2$…（6分）
當(dāng)直線l₁斜率存在時(shí)，不妨設(shè)為k（k≠0），
則直線l₂斜率為$-\frac{1}{k}$，直線l₁的方程為y=k（x-1），與橢圓E聯(lián)立得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0，由于F在橢圓內(nèi)，故此方程的△＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則有${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2（{{k^2}-1}）}}{{2{k^2}+1}}$，從而有$|{AC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$將k替換為$-\frac{1}{k}$，得$|{BD}|=\frac{{2\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}$…（9分）
∴${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|{AC}|•|{BD}|=\frac{{4（{{k^2}+1}）}}{{（{2{k^2}+1}）（{{k^2}+2}）}}$，令t=1+k²＞1，
∴${S_{ABCD}}=\frac{{4{t^2}}}{{2{t^2}+t-1}}=\frac{4}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{9}{4}}}≥\frac{16}{9}$，
∵$2＞\frac{16}{9}$
四邊形ABCD面積的最小值$S=\frac{16}{9}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，四邊形的面積的最小值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．