Question

5．在△ABC中，$tanB=\sqrt{3}$，AB=3，${S_{△ABC}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，則AC的長度為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知可求B，利用三角形面積公式可求BC的值，進而利用余弦定理可求AC的值．

解答 解：∵$tanB=\sqrt{3}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$，
又∵AB=3，${S_{△ABC}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×3×BC×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{9+4-2×3×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．