Question

11．如圖＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E點，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$，如圖＜2＞：若G，H分別為D′B，D′E的中點．
（Ⅰ）求證：GH⊥D′A；
（Ⅱ）求三棱錐C-D′BE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通過證明GH∥BE，推出GH⊥D′A；
（Ⅱ）三棱錐C-D′BE的體積．直接利用棱錐的體積公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E點，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$，ED=4，連結BE，GH，在三角形AED′中，
可得ED′²=AE²+AD′²，可得AD′⊥AE，DC=$\sqrt{E{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AC=2$\sqrt{2}$，可得AC²+AD′²=CD′²，可得AD′⊥AC，
因為AE∩AC=A，
所以AD′⊥平面ABCD，可得AD′⊥BE，G，H分別為D′B，D′E的中點，可得GH∥BE，
所以GH⊥D′A．
（Ⅱ）三棱錐C-D′BE的體積為V．
則V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD′$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$×2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中（Ⅰ）的關鍵是熟練掌握面面垂直，線面垂直及線線垂直的相互轉化，（Ⅱ）的關鍵是判斷出棱錐的高和底面面積．