Question

為考察某種藥物防治疾病的效果，對(duì)105只動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表：
藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表

	患病	未患病	總計(jì)
服用藥	10	45	55
沒服用藥	20	30	50
總計(jì)	30	75	105

（1）能否以97.5%的把握認(rèn)為藥物有效？為什么？
（2）用分層抽樣方法在未患病的動(dòng)物中隨機(jī)抽取5只，服用藥的動(dòng)物應(yīng)該抽取幾只？
（3）在（2）所抽取的5只動(dòng)物中任取2只，求恰有1只服用藥的動(dòng)物的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用相關(guān)指數(shù)公式計(jì)算觀測值，比較與臨界值的大小，可得判斷有關(guān)的可靠性程度；
（2）求出分層抽樣的比例，根據(jù)比例計(jì)算應(yīng)抽取服用藥的動(dòng)物數(shù)；
（3）寫出所有基本事件，從中找出恰有1只服用藥的動(dòng)物的基本事件，利用基本事件個(gè)數(shù)比求概率．

解答： 解：（1）相關(guān)指數(shù)K²的觀測值k=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

105×(10×30-20×45)2

55×50×30×75

≈6.1＞5.024，
∴有97.5%的把握認(rèn)為藥物有效；
（2）分層抽樣的抽取比例為

45

75

，
∴應(yīng)抽取服用藥的動(dòng)物數(shù)為

45

75

×5=3（只）；
（3）由（2）知，已抽取沒服用藥的動(dòng)物5-3=2（只），
記所抽取的動(dòng)物為a₁、a₂、a₃（服用藥），b₁、b₂（沒服用藥），從中任取2只，
不同的取法有a₁a₂、a₁a₃、a₂a₃、a₁b₁、a₁b₂、a₂b₁、a₂b₂、a₃b₁、a₃b₂、b₁b₂，共10種，
恰有1只服用藥的動(dòng)物的取法有a₁b₁、a₁b₂、a₂b₁、a₂b₂、a₃b₁、a₃b₂，共6種，
∴恰有1只服用藥的動(dòng)物的概率P=

6

10

=0.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想，考查了分層抽樣方法及古典概型的概率計(jì)算，是概率統(tǒng)計(jì)的常見題型．