【題目】如圖，四邊形為正方形，，且，平面.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】

（1）由勾股定理可得出，由平面可得出，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出平面，從而得出，再由正方形的性質(zhì)得出，從而可得出平面，最后利用平面與平面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.

（1），，.

又平面，平面，.

，平面，平面，.

四邊形為正方形，.

又，平面.

平面，平面平面；

（2）平面，，平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令.

則、、、，

，，，

設(shè)平面的法向量為，則，

令，則，.

設(shè)平面的法向量為，則，

令，則，，∴，

.

二面角為銳角，二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）若準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（1），使得，，在△DEF內(nèi)喂食，求當(dāng)△DEF的面積取最大值時(shí)EF的長(zhǎng)；

（2）若準(zhǔn)備建造一個(gè)荷塘，分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D、E、F，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，記，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的值.（精確到1米和0.1度）

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（1）求橢圓的方程；

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（2）若得分不低于85分，則認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“不認(rèn)可”，請(qǐng)根據(jù)此樣本完成此列聯(lián)表，并據(jù)此樣本分析是否有的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān)；

合計(jì)

認(rèn)可

不認(rèn)可

合計(jì)

（3）若此樣本中的城市和城市各抽取1人，則在此2人中恰有一人認(rèn)可的條件下，此人來(lái)自城市的概率是多少？

（參考公式：）

0.10

0.05

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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