Question

6．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x≤0）}\\{ln（x+1），）（x＞0）}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax-1恒成立，則a的取值范圍是[-6，0]．

Answer 1

分析 分x＜0，x=0、x＞0時三種情況討論，注意分離參數(shù)a后化為函數(shù)最值可求，最后對a范圍取交集即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x≤0）}\\{ln（x+1），）（x＞0）}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax-1恒成立，則當x＜0時，f（x）=-x²+4x≥ax-1，即a≥x+$\frac{1}{x}$-4．
∵-x+$\frac{1}{-x}$≥2，∴x+$\frac{1}{x}$≤-2，∴a≥-6 （當且僅當x=-1時，取等號）．
當x=0時，f（x）=0，ax-1=-1，|f（x）|≥ax-1恒成立．
當x＞0時，|f（x）|≥ax-1，即ln（x+1）≥ax-1，即$\frac{1}{x}$[ln（x+1）+1]≥a，要使它恒成立，a≤0．
故a的取值范圍為[-6，0]，
故答案為：[-6，0]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，屬于中檔題．