Question

根據(jù)下列條件，判斷三角形的形狀
（1）在△ABC中，

1-cosA

1-cosB

=

a

b

；
（2）在△ABC中，

a3+b3-c3

a+b-c

=c2且sinAsinB=

3

4

；
（3）在ABC中，（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B）．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：（1）由正弦定理可得

1-cosA

1-cosB

=

a

b

=

sinA

sinB

，即sinB≠0，由和差化積可得2sin

B-A

2

（cos

B+A

2

-cos

B-A

2

）=0，可得sin

B-A

2

=0，即A=B；
（2）由已知可得a²+b²-ab=c²，由余弦定理可解得cosC=

1

2

，C=

π

3

，有A+B=

2π

3

．故sinAsinB=sinAsin（

2π

3

-A）=

3

4

，解得sin（2A-

π

6

）=1，可解得：A=kπ+

π

3

，k∈Z，0＜A＜π，可解得A=B=C=

π

3

．
（3）由已知化簡可得2b²sinAcosB=2a²cosAsinB，根據(jù)正弦定理，得bsinA=asinB，化簡得bcosB=acosA，可得sin2A=sin2B，即可求得A=B或A+B=90°．

解答： 解：（1）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

可得，

1-cosA

1-cosB

=

a

b

=

sinA

sinB

，即sinB≠0，
整理得sinB-cosAsinB=sinA-sinAcosB，
即sinB-sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin（B-A），
即2cos

B+A

2

sin

B-A

2

=2sin

B-A

2

cos

B-A

2

，
故有：2sin

B-A

2

（cos

B+A

2

-cos

B-A

2

）=0，
∴sin

B-A

2

=0，即A=B．
∴三角形為等腰三角形．
（2）

a3+b3-c3

a+b-c

=c2，
⇒a³+b³-c³=ac²+bc²-c³
⇒a³+b³=c²（a+b）
⇒（a+b）（a²-ab+b²）=c²（a+b）
⇒a²+b²-ab=c²
由余弦定理a²+b²-c²=2abcosC可解得：cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

，
∴A+B=

2π

3

．
∴sinAsinB=sinAsin（

2π

3

-A）=sinA（sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA）=

3

4

sin2A+

1

4

-

1

4

cos2A=

3

4

，
∴sin（2A-

π

6

）=1．
∴可解得：A=kπ+

π

3

，k∈Z，
∵0＜A＜π，
∴可解得：A=B=C=

π

3

．
∴故△ABC是等邊三角形．
（3）∵（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC，
∴（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）=（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB），
可得sinAcosB（a²+b²-a²+b²）=cosAsinB（a²-b²+a²+b²）．
即2b²sinAcosB=2a²cosAsinB…（*）
根據(jù)正弦定理，得bsinA=asinB．代入（*）式，化簡得bcosB=acosA．
即2RsinBcosB=2RsinAcosA，（2R為△ABC外接圓的半徑）
化簡得sin2A=sin2B，
∴A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．

點評：本題主要考查了和差化積公式，正弦定理，余弦定理，兩角和與差的正弦公式的應用，熟練記憶和使用公式是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．