【題目】如圖,O為坐標原點,橢圓C1 + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為e1;雙曲線C2 =1的左、右焦點分別為F3 , F4 , 離心率為e2 , 已知e1e2= ,且|F2F4|= ﹣1.

(Ⅰ)求C1、C2的方程;
(Ⅱ)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點,當直線OM與C2交于P,Q兩點時,求四邊形APBQ面積的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)由題意可知, ,且

∵e1e2= ,且|F2F4|= ﹣1.

,且

解得:

∴橢圓C1的方程為 ,雙曲線C2的方程為 ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F1(﹣1,0).

∵直線AB不垂直于y軸,

∴設AB的方程為x=ny﹣1,

聯(lián)立 ,得(n2+2)y2﹣2ny﹣1=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

,

= =

∵M在直線AB上,

直線PQ的方程為 ,

聯(lián)立 ,得

解得 ,代入

由2﹣n2>0,得﹣ <n<

∴P,Q的坐標分別為 ,

則P,Q到AB的距離分別為:

∵P,Q在直線A,B的兩端,

則四邊形APBQ的面積S= |AB|

∴當n2=0,即n=0時,四邊形APBQ面積取得最小值2


【解析】(1)利用已知條件即可求出a、b的值,從而可求出橢圓以及雙曲線的標準方程;(2)設出直線的方程與橢圓的聯(lián)立解出交點坐標,用未知數(shù)表示所求圖形的面積,再利用未知數(shù)的取值范圍即可求出所求圖形面積的最小值。

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