【題目】直線y=ax+1與雙曲線3x2﹣y2=1相交于A、B兩點.
(1)求AB的長;
(2)當a為何值時,以AB為直徑的圓經過坐標原點?
【答案】
(1)解:由 ∴
∵相交于A、B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2)
∴△=(2a)2﹣4(a2﹣3)2>0,
∴ 且
∴ ,(*)
∴ ( 且 )
(2)解:由(1)中(*)式得: ,
∵以AB為直徑的圓經過坐標原點
∴ =0,∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0 即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0
∴
∴a=±1.
【解析】(1)將直線與雙曲線相交于兩點轉化為一元二次方程有兩個根,從而求得a的取值范圍,并利用求根公式將兩點的橫坐標用a表示出來,進而求得線段AB的長;(2)將幾何問題轉化為向量問題,向量問題再轉化為代數式問題,進而根據根與系數的關系求得實數a的值.
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【題目】如圖,O為坐標原點,橢圓C1: + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為e1;雙曲線C2: ﹣ =1的左、右焦點分別為F3 , F4 , 離心率為e2 , 已知e1e2= ,且|F2F4|= ﹣1.
(Ⅰ)求C1、C2的方程;
(Ⅱ)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點,當直線OM與C2交于P,Q兩點時,求四邊形APBQ面積的最小值.
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【題目】已知集合A={x|(x﹣3)(x﹣3a﹣5)<0},函數y=lg(﹣x2+5x+14)的定義域為集合B.
(1)若a=4,求集合A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實數a的取值范圍.
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【題目】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬開發(fā)某種新能源產品,估計能獲得萬元到萬元的投資利益,現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過萬元,同時獎金不超過收益的.
()請分析函數是否符合公司要求的獎勵函數模型,并說明原因.
()若該公司采用函數模型作為獎勵函數模型,試確定最小正整數的值.
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【題目】已知圓的圓心為,直線.
(1)求圓心的軌跡方程;
(2)若,求直線被圓所截得弦長的最大值;
(3)若直線是圓心下方的切線,當在上變化時,求的取值范圍.
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【題目】現(xiàn)有同一型號的電腦96臺,為了了解這種電腦每開機一次所產生的輻射情況,從中抽取10臺在同一條件下做開機實驗,測量開機一次所產生的輻射,得到如下數據:
13.7 12.9 14.4 13.8 13.3
12.7 13.5 13.6 13.1 13.4
(1)寫出采用簡單隨機抽樣抽取上述樣本的過程;
(2)根據樣本,請估計總體平均數與總體標準差的情況.
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【題目】下列4個命題: ①“若a、G、b成等比數列,則G2=ab”的逆命題;
②“如果x2+x﹣6≥0,則x>2”的否命題;
③在△ABC中,“若A>B”則“sinA>sinB”的逆否命題;
④當0≤α≤π時,若8x2﹣(8sinα)x+cos2α≥0對x∈R恒成立,則α的取值范圍是0≤α≤ .
其中真命題的序號是 .
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【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數方程為 (t為參數),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12.
(Ⅰ)求曲線C的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知直線l與曲線C交于A,B兩點,試求|AB|.
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