設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1＝an2－nan＋1，n＝1，2，3，…，

(1)當(dāng)a1＝2時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)a1≥3時(shí)，證明對所有的n≥1，有

①an≥n＋2；

②

答案：
解析：

　　證明：(1)由a1＝2，得a2＝a12－a1＋1＝3，

　　由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，

　　由a3＝4，得a4＝a32－3a3＋1＝5．

　　由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝n＋1(n≥1)．

　　(2)①用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3＝1＋2，不等式成立．

　　(Ⅱ)假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，即ak≥k＋2，那么

　　ak+1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，

　　也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak+1≥(k＋1)＋2，

　　根據(jù)(Ⅰ)和(Ⅱ)，知對于所有n≥1，有an≥a＋2．

　　②由an+1＝an(an－n)＋1及①，對k≥2，有

　　ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1．

　　……

　　∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1

　�。�2k－1(a1＋1)－1．

　　于是，k≥2，

　　．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且對任意的n∈N*，點(diǎn)Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).
則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如數(shù)列cn：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
，則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：{an}的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2+a4=6，且對任意n∈N*，函數(shù)f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn為（　�。�
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，則A2013=（　�。�

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