Question

20．將長為l的鐵絲剪成兩段，分別圍成長與寬之比為2：1及3：2的矩形，那么面積的和的最小值為$\frac{3}{104}{l^2}$．

Answer 1

分析 可設剪成2段中的其中一段長為xcm，則其圍成矩形后的長、寬分別為$\frac{2x}{6}$，$\frac{x}{6}$；另一段長為（l-x）cm，則其圍成矩形后的長、寬分別為$\frac{3（l-x）}{10}$，$\frac{2（l-x）}{10}$，依題意可得兩矩形的面積之和，再利用函數的導數，求函數的極小值，且為最小值即可．

解答 解：設剪成2段中其中一段為xcm，另一段為（l-x）cm，
依題意知：S=S₁+S₂=$\frac{x}{6}$•$\frac{x}{3}$+$\frac{3（l-x）}{10}$•$\frac{l-x}{5}$
=$\frac{1}{18}$x²+$\frac{3}{50}$（l-x）²，0＜x＜l，
可得S′=$\frac{1}{9}$x-$\frac{3}{25}$（l-x），
令S′=0，則x=$\frac{27}{52}$l，
當$\frac{27}{52}$l＜x＜l時，S′＞0，函數s遞增；
當0＜x＜$\frac{27}{52}$l，S′＜0，函數s遞減．
則函數s在x=$\frac{27}{52}$l處取得極小值，且為最小值$\frac{3}{104}{l^2}$．
故答案為：$\frac{3}{104}{l^2}$．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用導數求函數的單調區(qū)間，可得函數的極值，且為最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．