Question

18．已知函數f（x）=（ax²+x-b）e^x（a∈R），其中e是自然數對數的底數，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=4ex-3e．
（1）求a，b的值；
（2）討論f（x）的單調性，并求函數y=f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求得切線的斜率和切點，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的解析式和導數，求得單調區(qū)間，即可得到極值．

解答 解：（1）函數f（x）=（ax²+x-b）e^x的導數為
f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1-b]e^x，
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=4ex-3e，
可得切線的斜率為k=4e=（3a+2-b）e，
即有3a-b=2，又切點為（1，e），
即（a+1-b）e=e，即有a-b=0，
解得a=b=1；
（2）f（x）=（x²+x-1）e^x的導數為
f′（x）=（x²+3x）e^x，
由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜-3；
由f′（x）＜0，可得-3＜x＜0．
則f（x）的增區(qū)間為（-∞，-3），（0，+∞）；
減區(qū)間為（-3，0）．
即有x=0處取得極小值，且為-1；
x=-3處取得極大值，且為5e^-3．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值，考查運算能力，屬于基礎題．