Question

13．在直角坐標系xOy中，已知點A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
 （I）若向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$夾角為銳角，求實數(shù)a的取值范圍．
 （Ⅱ）若a=1，點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)城（含邊界）內(nèi)，$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （I）由題意求得$\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的坐標，令$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2（2-a）（3-a）＞0，求得實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n），由$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，可得m-n=y-x，令y-x=t，由圖利用線性規(guī)劃知識求得m-n的最大值．

解答 解：（I）由題意可得 $\overrightarrow{AB}$=（2-a，3-a），$\overrightarrow{AC}$=（3-a，2-a），
若向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$夾角為銳角，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2（2-a）（3-a）＞0，求得a＜2或a＞3．
（Ⅱ）∵a=1，$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=m（1，2）+n（2，1）=（m+2n，2m+n）（m，n∈R），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，可得m-n=y-x，令y-x=t，由圖可知，
當直線y=x+t過點B（2，3）時，t取得最大值1，
故m-n的最大值為：1．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)乘及坐標加法運算，考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．