Question

6．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足sinA+sinB=sinC（cosB+cosA）．
（1）證明：△ABC是直角三角形；
（2）如圖所示，設(shè)圓O過A，B，C三點，c=2，∠BAC=$\frac{π}{6}$，點P位于劣弧$\widehat{AC}$上，求△PAC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理和余弦定理得$\frac{a}{2R}+\frac{2R}$=$\frac{c}{2R}$（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$），由此利用勾股定理能證明△ABC是直角三角形．
（2）由已知得∠C=90°，當OP⊥AC時，△PAC面積最大，由此能求出△PAC面積的最大值．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足sinA+sinB=sinC（cosB+cosA），
∴$\frac{a}{2R}+\frac{2R}$=$\frac{c}{2R}$（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$），
∴2ab（a+b）=b（a²+c²-b²）+a（b²+c²-a²），
整理，得a²（a+b）+b²（a+b）=c²（a+b），
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：由（1）得∠C=90°，∴直徑AB=c=2，
∵∠BAC=$\frac{π}{6}$，∴BC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∵點P位于劣弧$\widehat{AC}$上，∴當OP⊥AC時，△PAC面積最大，
設(shè)OP交AC于D，此時OP=1，AD=CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴PD=$\frac{1}{2}$，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}×AC×PD$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴△PAC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查直角三角形的證明，考查三角形面積最大值的求法，是中檔題，解題時要注意正弦定理、余弦定理、勾股定理、垂徑定理的靈活運用．