Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是它的一個焦點,又點在該橢圓上.

（1）求橢圓的方程;

（2）若斜率為直線與橢圓交于不同的兩點,當面積的最大值時，求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1)； (2) 。

【解析】

試題分析：(1)由已知拋物線的焦點為,

故設(shè)橢圓方程為                                ………2分

將點代入方程得,整理得,得或(舍) 

故所求橢圓方程為                                  ………5分

(2) 設(shè)直線的方程為,設(shè)

代入橢圓方程并化簡得,       

由,可得.       ( )

由,                              ………7分

故. 又點到的距離為,   ………9分

故,   ………11分

當且僅當,即時取等號(滿足式),取得最大值.

此時所求直線l的方程為                             ………12分

考點：本題主要考查拋物線的標準方程，拋物線的幾何性質(zhì)，橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用。

點評：中檔題，本題求橢圓的標準方程，運用的是“待定系數(shù)法”，注意明確焦點軸和p的值。研究直線與橢圓的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現(xiàn)解題目的。