Question

8．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x-4）²+y²=1，且圓C與x軸交于M，N兩點，設直線l的方程為y=kx（k＞0）
（1）當直線l與圓C相切時，求直線l的方程；
（2）已知直線l與圓C相交于A，B兩點
（i）若AB≤$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，求實數(shù)k的取值范圍；
（ii）直線AM與直線BN相交于點P，直線AM，直線BN，直線OP的斜率分別為k₁，k₂，k₃，是否存在常數(shù)a，使得k₁+k₂=ak₃恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意k＞0，圓心C到直線l的距離d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，由直線l與圓C相切得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，由此能求出直線l．
（2）（i）由題意得0＜AB=2$\sqrt{1-kvgybw2^{2}}$≤$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，從而d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．
（ii）l_AM：y=k₁（x-3），與圓C：（x-4）²+y²=1聯(lián)立，得$（x-3）[（1+{{k}_{1}}^{2}）x-（3{{k}_{1}}^{2}+5）]=0$，由韋達定理求出A，B的坐標，從而得到（1+k₁k₂）（3k₁+5k₂）=0，由此能證明存在常數(shù)a=2，使得k₁+k₂=2k₃恒成立．

解答 解：（1）由題意k＞0，
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵直線l與圓C相切，
∴d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴直線l：y=$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．
（2）（i）由題意得0＜AB=2$\sqrt{1-c7t8jez^{2}}$≤$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
解得$\frac{4\sqrt{17}}{17}≤d＜1$，
由（1）知d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{4\sqrt{17}}{17}≤\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＜1$，
∴$\frac{1}{4}≤k＜\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（ii）l_AM：y=k₁（x-3），
與圓C：（x-4）²+y²=1聯(lián)立，
得$（x-3）[（1+{{k}_{1}}^{2}）x-（3{{k}_{1}}^{2}+5）]=0$，
∴${x}_{M}=3，{x}_{A}=\frac{3{{k}_{1}}^{2}+5}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，
∴A（$\frac{3{{k}_{1}}^{2}+5}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$），
同理，得B（$\frac{5{{k}_{2}}^{2}+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{-2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}$），
∵k_OA=k_OB，
∴$\frac{\frac{2{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}}{\frac{3{{k}_{1}}^{2}+5}{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{\frac{-2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}}{\frac{5{{k}_{2}}^{2}+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}}$，即（1+k₁k₂）（3k₁+5k₂）=0，
∵k₁k₂≠-1，
∴${k}_{2}=-\frac{3}{5}{k}_{1}$，
設P（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={k}_{1}（{x}_{0}-3）}\\{{y}_{0}={k}_{2}（{x}_{0}-5）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3{k}_{1}-5{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}}\\{{y}_{0}=\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}}\end{array}\right.$．
∴P（$\frac{3{k}_{1}-5{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}$，$\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}$），即P（$\frac{15}{4}$，$\frac{3{k}_{1}}{4}$），
∴${k}_{3}=\frac{\frac{3{k}_{1}}{4}}{\frac{15}{4}}$=$\frac{{k}_{1}}{5}$，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{2}{5}{k}_{1}=2{k}_{3}$，
∴存在常數(shù)a=2，使得k₁+k₂=2k₃恒成立．

點評 本題考查直線方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查是否存在使得等式恒成立的常數(shù)的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．