Question

20．8人排兩排，排后兩排各4人，組成2×4方陣．
（1）甲、乙不同排有多少排法？
（2）甲、乙同排有多少排法？
（3）甲、乙同排相鄰或前后相鄰有多少排法？
（4）甲、乙不在兩端有多少排法？
（5）任意排有多少排法？

Answer 1

分析 沒有限制條件的排列有A₈⁸=40320種，其中甲、乙同排的有C₂¹C₆²A₄⁴A₄⁴=17280種，故（1），（2），（5）問(wèn)題得以解決；
（3）分兩類，甲、乙同排相鄰，和甲乙前后相鄰，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，
（4）選從中間4個(gè)位置選2個(gè)排甲乙，其余的人任意排，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）沒有限制條件的排列有A₈⁸=40320種，其中甲、乙同排的有C₂¹C₆²A₄⁴A₄⁴=17280種，
故甲、乙不同排有40320-17280=23040種，
（2）由（1）可得甲、乙同排有C₂¹C₆²A₄⁴A₄⁴=17280種，
（3）甲、乙同排相鄰，把甲乙捆綁在一起，看做一個(gè)復(fù)合元素，從相鄰的6個(gè)位置選一個(gè)，其余的任意排，故有A₂²A₆¹A₆⁶=8640種，
甲乙前后相鄰，從4個(gè)位置選一個(gè)，其余的任意排，故有A₂²A₄¹A₆⁶=5760種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有8640+5760=14400種．
（4）選從中間4個(gè)位置選2個(gè)排甲乙，其余的人任意排，故有A₄²A₆⁶=17280種
（5）沒有限制條件的排列有A₈⁸=40320種

點(diǎn)評(píng) 本題考查分步分類計(jì)數(shù)原理，考查學(xué)生的計(jì)算能力分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．