Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，己知a₁═1，S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，n∈N^*，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由條件求得a₂=3，當(dāng)n≥2時，將n換為n-1，兩式相減可得a_n+1=2a_n+1，兩邊加1，由等比數(shù)列的通項公式即可得到所求通項；
（2）b_n=$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1①，可得
S₂=2S₁+2，即a₁+a₂=2a₁+2，解得a₂=3，
當(dāng)n≥2時，S_n=2S_n-1+n②，
①-②，可得a_n+1=2a_n+1，
即有a_n+1+1=2（a_n+1），
可得a_n+1=（a₂+1）•2^n-2=2ⁿ，對n=1也成立，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）；
（2）b_n=$\frac{n}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}-1-（{2}^{n}-1）}$=$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．