Question

18．如圖，在三棱錐P-ABC中，E、F、G、H分別是棱PB、PC、AB、BC的中點，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2．
（ I）證明：FG⊥AH；
（Ⅱ）求三棱錐E-FGH的體積．

Answer 1

分析 （I）取AC中點D，連結(jié)FD，GD，由中位線定理及PA⊥平面ABC可得EG⊥AH，由AB=AC，GD∥BC可得AH⊥GD，故AH⊥平面EGDF，得到AH⊥FG；
（II）設(shè)AH∩GD=M，則M為AH的中點，由中位線定理得EF=$\sqrt{2}$，EG=1，由平行公理的推論可得EG⊥EF，從而V_E-FGH=V_H-EFG=$\frac{1}{3}{S}_{△EFG}•HM$．

解答 證明：（I∵E，G分別是PB，AB的中點，
∴EG∥PA，∵PA⊥平面ABC，
∴EG⊥平面ABC，∵AH?平面ABC，
∴EG⊥AH，
∵AB=AC，H是BC的中點，
∴AH⊥BC，
取AC中點D，連結(jié)FD，GD，
∵G，D分別是AB，AC的中點，
∴GD∥BC，
∴AH⊥GD，
又EG?平面EGDF，GD?平面EGDF，EG∩GD=G，
∴AH⊥平面EGDF，∵FG?平面EGDF，
∴AH⊥FG．
解：（II）由（I）知EG⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴EG⊥BC，
∵E，F(xiàn)是PB，PC的中點，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴EG⊥EF．又∵EG=$\frac{1}{2}PA=1$，
∴S_△EFG=$\frac{1}{2}EF•EG$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵AB⊥AC，AB=AC=2，H是BC的中點，
∴AH=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
設(shè)AH∩GD=M，則$\frac{AM}{AH}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$．
∴HM=$\frac{1}{2}AH$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V_E-FGH=V_H-EFG=$\frac{1}{3}{S}_{△EFG}•HM$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．