Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{2n+1}}={a_{2n-1}}+2，{a_{2n+2}}=3{a_{2n}}，（n∈{N^*}）$．?dāng)?shù)列{a_n}前n項和為S_n．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a_ma_m+1=a_m+2，求正整數(shù)m的值；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，使得$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$恰好為數(shù)列{a_n}中的一項？若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項構(gòu)成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而寫出通項公式；
（Ⅱ）分類討論即方程的解；
（Ⅲ）化簡S_2m=1+2+3+6+…+2m-1+2•3^m-1=3^m-1+m²，S_2m-1=3^m-1-1+m²，從而可得$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=1+$\frac{2}{1+\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}}$，從而討論求值．

解答 解：（Ⅰ）∵${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{2n+1}}={a_{2n-1}}+2，{a_{2n+2}}=3{a_{2n}}，（n∈{N^*}）$，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項構(gòu)成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{2•{\sqrt{3}}^{n-2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）若m為奇數(shù)，則a_ma_m+1=m•2•$\sqrt{3}$^m-1=m+2，
無解；
若m為偶數(shù)，則a_ma_m+1=（m+1）2•$\sqrt{3}$^m-2=2•$\sqrt{3}$^m，
即$\frac{2（m+1）}{3}$=2，
解得，m=2；
綜上所述，m=2；
（Ⅲ）由題意知，S_2m=1+2+3+6+…+2m-1+2•3^m-1
=（1+3+5+…+2m-1）+（2+6+18+…+2•3^m-1）
=$\frac{1+2m-1}{2}$•m+$\frac{2（1-{3}^{m}）}{1-3}$
=3^m-1+m²，
S_2m-1=1+2+3+6+…+2m-1
=（1+3+5+…+2m-1）+（2+6+18+…+2•3^m-2）
=$\frac{1+2m-1}{2}$•m+$\frac{2（1-{3}^{m}）}{1-3}$-2•3^m-1
=3^m-1-1+m²，
故$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=$\frac{{3}^{m}+{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}$=1+$\frac{2}{1+\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}}$，
若m=1，則$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=3=a₃，
若$\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}$=1時，即m=2時，$\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}$=2=a₂，
所有滿足條件的m值為1，2．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用，屬于中檔題．