Question

8．某酒廠生產(chǎn)A、B兩種優(yōu)質(zhì)白酒，生產(chǎn)每噸白酒所需的主要原料如表：

白酒品種	高粱（噸）	大米（噸）	小麥（噸）
A	9	3	4
B	4	10	5

已知每噸A白酒的利潤是7萬元，每噸B白酒的利潤是12萬元，由于條件限制，該酒廠目前庫存高粱360噸，大米300噸，小麥200噸．
（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)A、B兩種白酒分別為x噸、y噸，總利潤為z萬元，請列出滿足上述條件的不等式組及目標(biāo)函數(shù)；
（Ⅱ）生產(chǎn)A、B兩種白酒各多少噸，才能獲得最大利潤？并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意寫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{9x+4y≤360}\\{3x+10y≤300}\\{4x+5y≤200}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y；
（Ⅱ）作出可行域，化z=7x+12y為$y=-\frac{7}{12}x+\frac{z}{12}$，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：（Ⅰ）滿足條件的不等式組為$\left\{\begin{array}{l}{9x+4y≤360}\\{3x+10y≤300}\\{4x+5y≤200}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
目標(biāo)函數(shù)為z=7x+12y；
（Ⅱ）作出（Ⅰ）中不等式組所表示的可行域如圖，
把z=7x+12y變形為$y=-\frac{7}{12}x+\frac{z}{12}$，
其中$\frac{z}{12}$是這條直線在y軸上的截距．
當(dāng)直線z=7x+12y經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時，截距$\frac{z}{12}$最大，即z最大．
解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{3x+10y=300}\\{4x+5y=200{，_{\;}}}\end{array}}\right.$
得A點(diǎn)的坐標(biāo)為x=20，y=24．
所以z_max=7x+12y=428．
答：生產(chǎn)A白酒20噸、B白酒24噸，可獲得最大利潤為428萬元．

點(diǎn)評 本題考查了線性規(guī)劃在實際問題中的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．