Question

12．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|-|x-1|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）存在x∈[0，2]時(shí)，使得不等式f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜\frac{1}{2}}\\{3x-2，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{x，x＞1}\end{array}\right.$，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）≤0，可化為（3x-a-1）（x-a+1）≤0，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜\frac{1}{2}}\\{3x-2，\frac{1}{2}≤x≤1}\\{x，x＞1}\end{array}\right.$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$；
（2）不等式f（x）≤0，可化為（3x-a-1）（x-a+1）≤0．
a=2時(shí)，f（x）≤0，即x=1∈[0，2]，符合題意；
a＜2時(shí)，a-1＜$\frac{a+1}{3}$，f（x）≤0的解集為[a-1，$\frac{a+1}{3}$]，
∴[a-1，$\frac{a+1}{3}$]∩[0，2]≠∅，
∴a-1≤2且$\frac{a+1}{3}$≥0，
∴-1≤a＜2；
a＞2時(shí)，a-1＞$\frac{a+1}{3}$，f（x）≤0的解集為[$\frac{a+1}{3}$，a-1]，
∴[$\frac{a+1}{3}$，a-1]∩[0，2]≠∅，
∴a-1≥0且$\frac{a+1}{3}$≤2，
∴2＜a≤5；
綜上所述-1≤a≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．