Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{e}•{e^x}+\frac{a}{2}{x^2}$-（a+1）x+a（a＞0），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．若函數(shù)y=f（x）與y=f[f（x）]有相同的值域，則實數(shù)a的最大值為（　�。�

• A． e
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{e}{2}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)f（x）的值域，問題轉(zhuǎn)化為即[1，+∞）⊆[$\frac{a}{2}$，+∞），得到關(guān)于a的不等式，求出a的最大值即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{e}•{e^x}+\frac{a}{2}{x^2}$-（a+1）x+a（a＞0），
f′（x）=$\frac{1}{e}$•e^x+ax-（a+1），a＞0，
則x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x＞1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
而x→+∞時，f（x）→+∞，f（1）=$\frac{a}{2}$，
即f（x）的值域是[$\frac{a}{2}$，+∞），恒大于0，
而f[f（x）]的值域是[$\frac{a}{2}$，+∞），
則要求f（x）的范圍包含[1，+∞），
即[1，+∞）⊆[$\frac{a}{2}$，+∞），
故$\frac{a}{2}$≤1，解得：a≤2，
故a的最大值是2，
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，考查集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．