Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+3x²-3x，m∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，求m的值；
（2）設(shè)m＜0，若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，f′（-1）=0，代入即可求出m的值．
（2）若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在區(qū)間I⊆（2，+∞），使得x∈I時，f′（x）＞0，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）f'（x）=3mx²+6x-3．
因為函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，所以f'（-1）=0，
所以3m-6-3=0．
解得m=3．
（2）當m＜0時，f'（x）=3mx²+6x-3，是開口向下的拋物線，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子區(qū)間使f'（x）＞0，
應(yīng)滿足或
解得或，
所以m的取值范圍是
點評：本題的考點是函數(shù)在某點取極值的條件，考查函數(shù)存在極值的性質(zhì)：函數(shù)在x=x處取得極值，則f′（x）=0，但f′（x）=0，函數(shù)在x=x處不一定是極值點；區(qū)分函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間與函數(shù)f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增是解題的關(guān)鍵．