Question

16．已知F₁為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點，過F₁的直線l與橢圓交于兩點P，Q．
（Ⅰ）若直線l的傾斜角為45°，求|PQ|；
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），點P關(guān)于原點的對稱點為P′，點Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′，P′Q′所在直線的斜率為k′．若|k′|=2，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的傾斜角為45°，直線l的方程為y=x+1，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式即可求得|PQ|；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得丨k′丨=丨$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$丨=丨$\frac{3\sqrt{1+{k}^{2}}}{2k}$丨=2，即可求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
橢圓的左焦點F₁（-1，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
又直線l的傾斜角為45°，
∴直線l的方程為y=x+1，…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：7x²+8x-8=0，…（3分）
則x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$．…（4分）
丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}+4×\frac{8}{7}}$=$\frac{24}{7}$，
∴|PQ|=$\frac{24}{7}$；…（5分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，…（6分）
則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，…（8分）
依題意P′（-x₁，-y₁），Q′（x₂，-y₂），且y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
∴丨k′丨=丨$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$丨=丨$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$丨，…（10分）
其中丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，…（11分）
∴丨k′丨=丨$\frac{3\sqrt{1+{k}^{2}}}{2k}$丨=2．…（12分）
解得：7k²=9，k=±$\frac{3}{7}$$\sqrt{7}$，
k的值±$\frac{3}{7}$$\sqrt{7}$．．…（13分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式及直線的斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．