Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-6時，函數(shù)f（x）定義域和值域都是[1，

b

2

]，求b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上與x軸有兩個不同的交點，求b（1+a+b）的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-6時，函數(shù)f（x）=x²+ax-6圖象的對稱軸為直線x=3，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，分當(dāng)2＜b≤6時，當(dāng)6＜b≤10時，當(dāng)b＞10時，三種情況討論滿足條件的b值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上與x軸有兩個不同的交點，即函數(shù)f（x）=x²+ax+b的兩個零點為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=b=x₁x₂＞0，f（1）=1+a+b=（1-x₁）（1-x₂）＞0，進而結(jié)合基本不等式可得b（1+a+b）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-6時，函數(shù)f（x）=x²-6x+b，其圖象的對稱軸為直線x=3，
故f（x）在區(qū)間[1，3]單調(diào)遞減，在區(qū)間[3，+∞）單調(diào)遞增．
①當(dāng)2＜b≤6時，f（x）在區(qū)間[1，

b

2

]上單調(diào)遞減；故

f(1)= b 2 f( b 2 )=1

，無解；
②當(dāng)6＜b≤10時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，[3，

b

2

]上單調(diào)遞增，且f（1）≥f（

b

2

），故

f(1)= b 2 f(3)=1

，解得b=10；
③當(dāng)b＞10時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，[3，

b

2

]上單調(diào)遞增，且f（1）＜f（

b

2

），故

f( b 2 )= b 2 f(3)=1

，無解．
綜上所述，b的值為10．…（8分）
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b的兩個零點為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），
則f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=b=x₁x₂＞0，f（1）=1+a+b=（1-x₁）（1-x₂）＞0
∴b（1+a+b）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）≤

1

16

，
由x₁＜x₂，
故0＜f（0）f（1）＜

1

16

，
即b（1+a+b）的取值范圍為（0，

1

16

）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點，基本不等式，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．