【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).
(1)當a>0時,用作差法證明:f( )< [f(x1)+f(x2)];
(2)已知當x∈[0,1]時,|f(x)|≤1恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:∵f(x)=ax2+x,

∴f( )﹣ [f(x1)+f(x2)]=

= = =

∵a>0,又 ,∴ ,

∴f( )< [f(x1)+f(x2)]


(2)解:由題意,得﹣1≤ax2+x≤1對x∈[0,1]恒成立.

1°當x=0時,a∈R;

2°當x≠0時,

∈[1,+∞),

記g(t)=t2﹣t≥0,∴a≤0,

h(t)=﹣t2﹣t≤﹣2,則a≥﹣2.

∴﹣2≤a≤0,又a≠0.

∴﹣2≤a<0.


【解析】(1)把f( )、 [f(x1)+f(x2)]分別代入函數(shù)解析式,作差判斷差的符號證明f( )< [f(x1)+f(x2)];(2)由|f(x)|≤1恒成立,得﹣1≤ax2+x≤1對x∈[0,1]恒成立,當x=0時,可得a∈R;當x≠0時,分離參數(shù)a得到 ,令 ∈[1,+∞),求出二次函數(shù)的最值可得實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減).

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