如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別是AC,AB上的中點,

點F為線段CD上的一點.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖2.

(1)求證:DE∥平面A1CB;

(2)求證:A1F⊥BE;

(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.

 



 解:(1)因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DE∥BC.又因為DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB. ------3                                                                                                                                                                                                               分

 (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F 平面A1DC,

所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE ----------6分

                             

(3)線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如圖,

分別取A1C,A1B的中點P,Q,則PQ∥BC.

又因為DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEP. ----------9分

 

由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.

又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C 的中點,

所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,從而A1C⊥平面DEQ.

故線段A1B上存在點Q,使得A1C⊥平面DEQ. -------------12分

 


練習冊系列答案
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A.             B.           C.           D.

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    A.    B.     C.    D.

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