Question

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]
（1）求y=[f（x）]²+f（x²）的定義域；
（2）求y=[f（x）]²+f（x²）的最大值及當(dāng)y取最大值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）得到函數(shù)的解析式，由

1≤x≤9 1≤x2≤9

求得函數(shù)的定義域；
（2）令u=log₃x換元，然后利用配方法求函數(shù)的最大值并求得當(dāng)y取最大值時(shí)x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2+log₃x，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）
=log₃²x+6log₃x+6=（log₃x+3）²-3．
∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，9]，
∴要使函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）有定義，
則

1≤x≤9 1≤x2≤9

，∴1≤x≤3，
即函數(shù)定義域?yàn)閇1，3]；
（2）令u=log₃x，則0≤u≤1．
y=（log₃x+3）²-3=（u+3）²-3，
又∵函數(shù)y=（u+3）²-3在[-3，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)u=1時(shí)，函數(shù)y=（u+3）²-3有最大值13．
即當(dāng)log₃x=1，x=3時(shí)，函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）有最大值為13．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合函數(shù)定義域的求法，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用換元法求函數(shù)的值域，是中檔題．