16．已知△ABC中，asinAsinB+bcos2A=$\sqrt{2}$a，c2=b2+$\sqrt{3}$a2，求B．

分析 運用正弦定理和同角的平方關系，化簡即可得到b=$\sqrt{2}$a，運用正弦定理和余弦定理，計算化簡即可得到所求值．

解答 解：∵asinAsinB+bcos2A=$\sqrt{2}$a，
運用正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=$\sqrt{2}$sinA，
即有sinB（sin2A+cos2A）=$\sqrt{2}$sinA，
即有$\frac{sinB}{sinA}$=$\sqrt{2}$；
可得b=$\sqrt{2}$a，
又c2=b2+$\sqrt{3}$a2，則c2=（2+$\sqrt{3}$）a2，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+（2+\sqrt{3}）{a}^{2}-2{a}^{2}}{2{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則∠B=45°．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查運算能力，屬于中檔題．

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