Question

7．從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點，若任意一對從焦點發(fā)出的入射線與反射線都不垂直，則橢圓的離心率的范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 通過分析可知△F₁PF₂中∠F₁BF₂是銳角，計算即得結論．

解答 解：設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
從F₁發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點P反射經(jīng)F₂，
當點P自長軸端點A運動至短軸端點B時∠F₁PF₂由0°變到最大，
若PF₁，PF₂都不垂直，則∠F₁BF₂是銳角，
∴c＜b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{^{2}+{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+（\frac{c}）^{2}}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．